20. De radioactiviteit van banaan#
Het kaliumgehalte van bananen is vrij hoog. Een van de isotopen van kalium is K-40. K-40 is een instabiel isotoop, gelukkig voor ons met een vrij lange halfwaardetijd. Bij het eten van een banaan krijg je immers instabiele isotopen binnen…
Soms wordt de radioactiviteit uitgedrukt in een aantal bananen. Maar wat is dan de activiteit van een banaan? Hoe groot is de dosis die je ontvangt bij het eten van een banaan?
Op basis van het onderstaande stuk theorie over het verval van \(^{40}\)K en de beschikbare meetopstelling zijn er verschillende methoden te bedenken voor het bepalen van de halfwaardetijd van \(^{40}\)K. Ook is het mogelijk om metingen te doen aan bananen zelf. Bedenk je eigen onderzoek waarmee je de bovenstaande vragen - of een zelfbedachte onderzoeksvraag - kunt beantwoorden en voer deze uit.
20.1. Inleiding#
20.1.1. Natuurlijke achtergrond van ioniserende straling: \(^{40}\)K#
Hoewel niet algemeen bekend, wordt iedereen blootgesteld aan ioniserende straling van natuurlijke oorsprong. Deze straling is deels van kosmische, deels van aardse oorsprong. De straling van aardse oorsprong is afkomstig van verschillende soorten radioactieve stoffen. Deze stoffen zijn mede door menselijke activiteit aanwezig (kernproeven, kerncentrales). Een aanzienlijk deel is echter van nature aanwezig en afkomstig van radioactieve nucliden met een lange levensduur. Tot deze laatste categorie behoren uraniumisotopen en de radioactieve vervalprodukten van deze isotopen, waaronder het edelgas radon. Ook kalium in de natuurlijke samenstelling bevat een isotoop met een zeer lange levensduur: \(^{40}\)K.
\(^{40}\)K vervalt meestal naar \(^{40}\)Ca door uitzending van een elektron uit de kern, z.g. \(\beta^-\)-verval. In de overige gevallen vindt \(\beta^+\)-verval plaats (d.w.z. verval met emissie van een positron; dat is een positief geladen elektron) of wordt een elektron uit een dichtbij de kern gelegen elektronenschil ingevangen (electron capture, EC). Er ontstaat dan \(^{40}\)Ar. Een eenvoudig vervalschema van \(^{40}\)K staat in Figuur 20.1. De levensduur van \(^{40}\)K moet van de orde van de levensduur van de aarde zijn, dus miljarden jaren; anders zou het bij het ontstaan van de aarde gevormde \(^{40}\)K al lang door radioactief verval verdwenen zijn.
Fig. 20.1 Vervalschema van \(^{40}\)K. Verticale lijnen corresponderen met uitzending van gammastraling. EC: elektron capture.#
20.1.2. Dosisequivalent door achtergrondstraling#
De stralingsbelasting door ioniserende straling wordt uitgedrukt in het dosisequivalent. Dat is de geabsorbeerde dosis (geabsorbeerde energie per kg materiaal) vermenigvuldigd met een factor die karakteristiek is voor de biologische effectiviteit van de straling. De SI eenheid van dosisequivalent is de Sievert (Sv). In Nederland bedraagt het dosisequivalent ten gevolge van natuurlijke oorzaken circa 2 mSv per jaar. Ongeveer 10\(\%\) hiervan komt voor rekening van \(^{40}\)K. Ter vergelijking, het laten maken van een röntgenfoto geeft ook een dosisequivalent van de orde van tienden van mSv. Een wintersportvakantie of een transatlantische vlucht geven, doordat men zich hoger in de atmosfeer bevindt, dosisequivalenten van een honderdste tot een tiende mSv.
20.2. Theorie van het radioactief verval#
20.2.1. Gemiddeld gedrag#
Stel dat we op tijdstip \(t\) beschikken over \(N(t)\) kernen van een radioactief nuclide. Het is redelijk te veronderstellen dat het aantal kernen dat gemiddeld in een tijdsduur \(\Delta {t}\) vervalt evenredig is met \(N(t)\) en met \(\Delta {t}\):
De evenredigheidsconstante \(\lambda\) heet de vervalconstante. Formule (20.1) is feitelijk een differentiaalvergelijking voor \(N(t)\). De oplossing is een exponentieel afvallende functie in de tijd:
Dit is de wet van het radioactief verval. Hierin is \(N(0)\) het aantal op tijdstip \(t = 0\) aanwezige kernen. Verder is \(N(t)\) het aantal radioactieve kernen dat op tijdstip \(t\) nog niet is vervallen.
De inverse van \(\lambda\) heet de vervaltijd of levensduur van het nuclide: \(\tau = 1/\lambda\). Dit is de tijdsduur waarin het aantal kernen is afgenomen tot 1/e van het oorspronkelijke aantal. Vaak wordt ook de *halfwaardetijd} \(t_{1/2}\) gebruikt. Dit is de tijdsduur waarin de helft van het oorspronkelijk aantal kernen is vervallen. Door in formule (20.2) voor \(N(t)\) de waarde \(\frac{1}{2}N(0)\) in te vullen, volgt:
De vervalconstante (en daarmee dus ook de vervaltijd en de halfwaardetijd) is een karakteristiek van het radioactieve nuclide, bijvoorbeeld \(^{40}\)K.
De activiteit van een radioactieve bron is het aantal kernen dat per tijdseenheid vervalt:
Ook deze grootheid neemt dus exponentieel af, met tijdconstante \(\tau\). De activiteit heeft als dimensie \(T^{-1}\) en kan dus worden uitgedrukt in s\(^{-1}\). Er is echter een aparte SI-eenheid voor de activiteit van een radioactieve bron, de becquerel (Bq). Denk erom dat je gemeten teltempo’s moet uitdrukken in s\(^{-1}\) of een vergelijkbare eenheid (bijv. min\(^{-1}\)). Een teltempo wordt pas een activiteit uitgedrukt in Bq na correctie voor een aantal factoren, zoals de achtergrondstraling en het rendement van de opstelling.
20.2.2. Statistiek van het verval#
Formule (20.2) beschrijft het gemiddeld gedrag van het radioactief verval over een lange periode. Echter, op korte tijdschaal is het gedrag een toevalsproces. Het aantal vervalprocessen dat in een tijdsinterval \(\Delta t\) plaatsvindt varieert op statistische wijze rond het gemiddelde \(\mu\). De statistische kans dat van de \(N(t)\) aanwezige kernen \(k\) kernen vervallen in het tijdsinterval \(\Delta t\) wordt gegeven door de Poissonverdeling \(P_{\mu}(k)\):
De parameter \(\mu\) is het gemiddelde aantal vervalprocessen in het tijdsinterval \(\Delta t\). De waarde van \(\mu\) kan berekend worden met de \(k\)-waardes gemeten in zeer veel afzonderlijke (en even lange) tijdsintervallen \(\Delta t\). De functie \(k!\) (spreek uit: k faculteit) wordt gegeven door \(k != k \times (k-1) \times \ldots \times 1 \) (met \(0! = 1\)).
Hoewel formule (20.5) een relatief eenvoudige functie is, blijkt het lastig goed te onthouden hoe \(\mu\) en \(k\) precies geplaatst zijn in de formule. Aanrader: blijf daarop letten! Uit formule (20.5) volgt dat de Poissonverdeling bepaald wordt door één enkele parameter \(\mu\), het gemiddelde van de verdeling. In Figuur 20.2 staat een grafiek van een Poissonverdeling, voor \(\mu=3\). Het valt meteen op dat de Poissonverdeling niet symmetrisch is.
Fig. 20.2 Poissonverdeling voor \(\mu=3\), getekend samen met het histogram waaraan de verdeling is gefit. De verdeling is asymmetrisch. De curve is getekend als een continue curve, maar in werkelijkheid geldt de verdeling slechts voor gehele waardes van \(k\), zie ook de sectie in Meten en Onzekerheid aangaande de Poissonverdeling.#
Een formule voor \(\mu\) gebaseerd op het gemiddeld gedrag van het radioactieve verval kan verkregen worden door de gemiddelde afname van het aantal radioactieve kernen per tijdseenheid (d.w.z. de activiteit, formule (20.4)) te vermenigvuldigen met het tijdsinterval \(\Delta t\):
Hierbij wordt met het weglaten van de tijdsafhankelijkheid van \(N\) aangegeven dat in het tijdsinterval \(\Delta t\) het aantal radioactieve kernen slechts verwaarloosbaar vermindert (n.b. de notatie voor een tijdsinterval is doorgaans \(\Delta t\); \(t\) geeft meestal een tijdstip aan).
Bij het meten van het radioactief verval voert men typisch een tel-experiment uit. Daarbij wordt het aantal vervalprocessen in het tijdsinterval \(\Delta t\) geteld door detectie van de vervalproducten. Door het tellen vele malen te herhalen en een histogram te maken van de teltotalen in de tijdsintervallen \(\Delta t\), wordt een verdeling verkregen. Deze zal dan voldoen aan de Poissonverdeling.
Naast het gemiddelde is de standaarddeviatie \(\sigma\) een belangrijke karakteristiek van de Poissonverdeling. Deze bepaalt met name de breedte van de verdeling. Uit de definitie van standaarddeviatie en formule (20.5) kan worden afgeleid:
De parameter \(\mu\) is dus niet alleen het gemiddelde, maar bepaalt ook de standaarddeviatie. Formule (20.7) wordt vaak gegeneraliseerd tot de wortelregel voor een individueel tel-experiment (niet beperkt tot radioactief verval; bijv. het aantal per maand geboren baby’s in een ziekenhuis): de onzekerheid in een telexperiment met teltotaal \(k\) is \(\sqrt{k}\). De relatieve onzekerheid is dan
zodat het loont een hoger teltotaal te scoren, bijvoorbeeld door gebruik van een bron met een hogere activiteit of door langer te meten.
We behandelen nu nog twee onderwerpen over de Poissonverdeling, nl. de normering van de verdeling en het uitrekenen van het gemiddelde op basis van formule (20.5).
20.2.2.1. Normering#
Voor een kansverdeling geldt dat de som van alle kansen gelijk is aan één. Dat geldt ook hier:
De juistheid van formule (20.9) volgt direct uit de Taylor reeks voor \(e^{\mu}\):
20.2.2.2. Uitrekenen gemiddelde#
Dat \(\mu\) het gemiddeld aantal vervalsprocessen is, kan bewezen worden door te sommeren over alle mogelijke waardes van \(k\), ieder vermenigvuldigd met zijn waarschijnlijkheid van optreden:
De Poissonverdeling geldt typisch voor een kansexperiment met een zeer grote populatie en een kleine kans op ``succes’’. Succes betekent een kern vervalt; \(k\) als gebruikt in formule (20.5) telt het aantal successen. Bij het radioactief verval is de populatie het zeer grote aantal radioactieve kernen (hier: \(N \sim 10^{18}\)) en wordt de kans op succes gegeven door het kleine getal \(w=\Delta t \ln 2 / t_{1 / 2}\) (hier: \(w \sim 10^{-16}\)). In de terminologie van de statistiek kan ieder afzonderlijk tel-experiment gedurende een tijdsduur \(\Delta t\) gezien worden als het doen van \(N\) pogingen (want \(N\) kernen). In ieder tel-experiment wordt geteld hoeveel van de \(N\) pogingen tot succes leidt.
In de limiet van zeer grote \(\mu\) gaat de asymmetrische Poissonverdeling over in de symmetrische normale verdeling, die in het algemeen bepaald wordt door twee onafhankelijke parameters (het gemiddelde en de standaarddeviatie). Echter, in dit geval van schaarse willekeurige vervalprocessen bepaalt alleen de parameter \(\mu\) van de oorspronkelijke Poissonverdeling de resulterende normaalverdeling (met opnieuw: gemiddelde \(= \mu\) en standaarddeviatie \(= \sqrt{\mu}\)).
20.3. Meting van de Halfwaardetijd van \(^{40}\)K#
Uit het voorgaande volgt dat de halfwaardetijd van een nuclide bepaald kan worden door de activiteit te meten als functie van de tijd. Je zou het teltempo kunnen meten en dat zo nodig corrigeren voor bijvoorbeeld achtergrondstraling. Het gecorrigeerde teltempo is evenredig met de activiteit. Als je dit gecorrigeerde teltempo logaritmisch uitzet tegen de tijd, dan ontstaat binnen de meetonnauwkeurigheid een rechte lijn met helling \(-\lambda\), waaruit we \(t_{1/2}\) kunnen berekenen met formule (20.3).
Van een preparaat dat \(^{40}\)K bevat kunnen we echter niet verwachten dat de activiteit in de ons ter beschikking staande meettijd meetbaar afneemt, gegeven de halfwaardetijd van miljarden jaren. Daarom is de eerste methode om de halfwaardetijd te verkrijgen gebaseerd op formule (20.4), door bepaling van \(A(0)\) en van \(N(0)\). Er geldt immers volgens formule (20.4):
En uit formule (20.4) volgt:
De tweede methode om \(t_{1/2}\) te bepalen is door een histogram van teltotalen te meten, waarbij elk totaal geteld wordt gedurende tijdsinterval \(\Delta t\). Door fitten van een Poissonverdeling aan het histogram, volgt het gemiddelde \(\mu\). Via formule {eq}(eq:mu) geeft \(\mu\) dan \(t_{1/2}\).
20.3.1. Bepaling van het aantal kernen \(^{40}\)K in één gram KCl#
De grootheden \(N(0)\) en \(A(0)\) in formule (20.11) voor de halfwaardetijd hebben betrekking op hetzelfde aantal \(^{40}\)K kernen. Dit kunnen we bereiken door meetuitkomsten van verschillende preparaten te herleiden tot de massa van één gram KCl.
Als we \(N(0)\) herdefiniëren als het aantal kernen \(^{40}\)K in één gram KCl is, kan \(N(0)\) uitgedrukt worden in \(p\), \(N_A\) en \(M\). \(p\) is de fractie van het voorkomen van de isotoop \(^{40}\)K in het natuurlijk isotopenmengsel, \(N_A\) het getal van Avogadro en \(M\) de molmassa van KCl. De waarden van \(p\), \(N_A\) en \(M\) zijn op te zoeken in een tabellenboek, bijvoorbeeld in MacMillan [3].
20.3.2. Bepaling van de activiteit van één gram KCl#
Om de activiteit van één gram KCl te bepalen maken we gebruik van de opstelling geschetst in Figuur 20.3. Het hart van de opstelling is een Geiger-Müller (GM) detector, die in deze proef elektronen detecteert.
Fig. 20.3 Geiger-Müller telopstelling voor bepaling van de halfwaardetijd van \(^{40}\)K. Preparaathouders zijn beschikbaar om verschillende diktes van KCl poeder te prepareren. De houder moet in de bovenste positie geplaatst worden.#
Het principe van de GM detector wordt beschreven in de gebruiksaanwijzing bij de opstelling. In een meting tel je het aantal detecties veroorzaakt door een KCl preparaat gedurende een bepaalde meettijd met behulp van een counter/timer.
We vinden het teltempo \(R\) door het teltotaal \(N_{tel}\) te delen door de meettijd \(\Delta t: R = N_{tel}/\Delta t\). Dit teltempo is niet hetzelfde als de activiteit! Daarom drukken we, als eerder vermeld, het teltempo uit in s\(^{-1}\) en niet in Bq! Het gemeten teltempo rekenen we om naar de activiteit door het uitvoeren van een aantal correcties. We behandelen alleen de correcties die een significante bijdrage geven.
20.3.2.1. Achtergrond#
Het teltempo \(R\) moet gecorrigeerd worden voor de achtergrond. Om deze te bepalen, tellen we ook een tijd zonder preparaat. We tellen zo lang mogelijk, omdat daarmee de relatieve onzekerheid in de correctie kleiner wordt. Zie formule (20.8). Het voor de achtergrond gecorrigeerde teltempo \(R_c\) is dus
waarin \(N_a\) het achtergrondteltotaal en \(\Delta t_a\) de achtergrondmeettijd is. Uit \(R_c\) bepalen we het teltempo per gram volgens
waarin \(m\) de preparaatmassa in gram is.
20.3.2.2. Rendement#
Omdat niet ieder vervalproces aanleiding geeft tot een detectie, is verdere correctie van het teltempo nodig. De verhouding tussen teltempo en activiteit noemt men het rendement. Het totale rendement wordt bepaald door drie factoren: (a) de zelfabsorptie in de bron, (b) het \(\beta\)-rendement van de GM detector en (c) het geometrisch rendement van de opstelling.
a. Zelfabsorptie. Naarmate het preparaat dikker wordt, zullen meer deeltjes in de bron geabsorbeerd worden en dus de detector niet bereiken. Hiervoor kan gecorrigeerd worden door voor verschillende preparaatdikten \(r_c\) te meten en de gevonden waarden van \(r_c\) te extrapoleren naar preparaatdikte nul. Bij de opstelling zijn hiervoor preparaathouders beschikbaar. De extrapolatie met onzekerheidsbepaling kan uitgevoerd worden door op de data een kleinste kwadraten aanpassing los te laten. Hiervoor leent zich een polynoom. Een polynoom veronderstelt dat de relatie tussen \(r_c\) en \(d\) van de volgende vorm is:
De kleinste kwadraten aanpassing levert de coëfficiënten \(a_0, a_1, a_2\), … van de polynoom. Extrapolatie naar dikte nul betekent dat we in de gefitte polynoom \(d = 0\) invullen, zodat we krijgen: \(r_{\mathrm{c}, 0}=r_{\mathrm{c}}(0)=a_{0}\). Dus \(r_{c,0}\) is de voor zelfabsorptie gecorrigeerde waarde van het teltempo van 1 gram KCl, verkregen door het teltempo per gram te bepalen als functie van de preparaatdikte na correctie voor de achtergrond.
b. Het \(\beta\)-rendement \(\epsilon\) is de verhouding tussen het aantal gedetecteerde \(\beta\)-deeltjes en het aantal \(\beta\)-deeltjes dat de GM buis bereikt. De waarde van \(\epsilon\) staat genoteerd in een data sheet bij de telopstelling.
c. Geometrische rendement G is de verhouding tussen het aantal elektronen dat de detector bereikt en het aantal elektronen dat door de bron wordt uitgezonden. Omdat de elektronen naar alle kanten worden uitgezonden en de detector de bron niet alzijdig omvat, zal slechts een deel van de elektronen de detector bereiken. Het gaat hier om de ruimtehoek waaronder de detector de bron “ziet” (ruimtehoek is het drie-dimensionale equivalent van hoek in het platte vlak). Voor een puntbron is de ruimtehoek eenvoudig uit te rekenen. In ons geval is de bron echter geen puntbron en is de uitdrukking voor G nogal ingewikkeld:
Hierin is \(\beta=\left(R_{\mathrm{d}} / s\right)^{2}\) en \(\gamma=\left(R_{\mathrm{b}} / s\right)^{2}\), met \(s\) de afstand tussen bron en detector venster, \(R_d\) de straal van het ronde, vlakke detectorvenster en \(R_b\) de straal van de ronde, vlakke bron (zie Figuur 20.4).
Je kunt nagaan dat geldt:
Formule (20.15) is nogal uitgebreid, waardoor doorwerking van onzekerheden tot flinke rekenpartijen leidt. Daarom worden hier de waarde van \(G\) en de bijbehorende onzekerheid gegeven: \(G=0.215\), met \(u(G)=0.006\).
Fig. 20.4 Geometrie van de bron en detector, met aanduiding van relevante afmetingen.#
20.3.2.3. Fractie \(\beta^-\)-verval.#
De laatste te bespreken correctie houdt verband met de eigenschap van de GM detector dat deze alleen het \(\beta^-\)-verval detecteert. De (zeer weinige) positronen (\(\beta^+\), zie Figuur 20.1 zullen met de elektronen van de K+ en Cl- ionen annihileren en de detector dus niet bereiken. Elektron en positron gaan dan op in \(\gamma\)-straling, waarvoor de detector een zeer laag rendement heeft. Elektronvangst (EC, zie Figuur 20.1 geeft voornamelijk aanleiding tot röntgen-straling, die voor het grootste deel al in de bron wordt geabsorbeerd. E.e.a. betekent dat de detector van de drie vervalkanalen alleen de fractie van het \(\beta^-\)-verval ‘ziet’. Deze fractie wordt aangeduid met het symbool \(f\).
20.4. Absorptie#
\(\beta^-\)-straling interacteert op verschillende manieren met materie. Hoeveel straling wordt geabsorbeert hangt af van onder andere het type materiaal en de dikte van het materiaal. In de practicumzaal zijn plaatjes van verschillende dikte beschikbaar van onder andere lood, kunststof en karton. Deze kun je ook gebruiken voor een experiment, bijvoorbeeld om de absorptiecoëfficient bij verschillende materialen te bepalen (Zie bijvoorbeeld: Paola La Rocca en Francesco Riggi, “Absorption of beta particles in different materials: an undergraduate experiment”, *European Journal of Physics 30, no. 6 (2009): pp. 1417-1425).
20.5. Materialenlijst#
De volgende materialen zijn aanwezig in de practicumzaal:
* Geiger-Muller opstelling met loden afscherming
* Kaliumchloride (poeder)
* Plastic houdertjes voor kaliumcloridepreparaten van verschillende diepte
* Weegschaal
* Dieptemeter
* Absorptieplaatjes van:
* Lood
* Polyetheen
* Papier
* Karton